Логрифм Ба Илтгэгч Функцууд

Алгебрт vздэг зэргийн тухай давтаж нэг харахад илvvдэхгvй биз ээ.

аⁿ а^m = а^m+n
а⁰ = 1
а^-n = 1/аⁿ

байдгийг болон яагаад гэдгийг бид мэднэ. Харин а - г иррационал (иррационал тоог c/d гэж бичиж болдоггvй) зэрэгт дэвшvvлэхэд яах ёстой нь тодорхойгvй байна.

а + b = b + а учраас нэмэх, vржvvлэх vйлдэлvvд хоёр урвуу vйлдэлтэй байдаг билээ. Харин a^b b^a болохлээр зэрэгт дэвшvvлэх vйлдэл хоёр урвуу vйлдэлтэй байдаг. Суурыг нь олох vйлдэлийг язгуур гаргах vйлдэл гэнэ. Харин зэргийг нь олох vйлдэлийг логрифм гэж нэрэлдэг. 10² = 100 бол log₁₀100 = 2, а^b = c бол log_аc = b байдаг. а - г суурь гэж нэрэлдэг.

log болон илтгэгч функцийг (а^х, log_аx функцуудийг) яаж тодорхойлох вэ? Зvгээр бичээд л болоо юм биш vv гэхлээр жишээлбэл энэ функцvvдийн чинь уламжлалыг яаж олох вэ? Бас илтгэгч функцийг иррационал зэргийн хувьд яаж тодорхойлох вэ?

Эхлээд f(x) = а^х функц байлаа гэж бодъё. f(x+y) = f(x) f(y) бєгєєд f(1) = а байх нь харагдаж байна. Хэрвээ f функцийн уламжлалыг олохыг оролдож vзвэл

гэж гарна. (0) байдаг гэж vзээд энийгээ z - гээр тэмдэглэе.

Хэрвээ бид f^-1 = log_аx функцийг авч vзвэл,

байна. Логрифм функцийн уламжал маш хялбархан хэлбэртэй харагдаж байна. Бид дээр нэг л функцийн интегралын олж чадахгvй байсан, харин одоо

байгааг олж болно. Нэг ёсондоо бид логрифм функцийг иймэрхvv интеграл хэлбэрээр тодорхойлж болох юм. Харамсалтай нь z буюу (0) тодорхойлоогvй. Гэхдээ бид z - г мартаад

х > 0 бол

гэж тодорхойлно.

Жич: Энэ функцийг голдуу ln(x) гэж тэмдэглэдэг. Харин log тэмдэгээр 10 суурьтай логримфмийг тэмдэглэдэг.

Одоохондоо энэ логрифмийг ямар суурьтай логрифм болохыг бид мэдэхгvй. Харин дараа энэ сууриа бодож олох байх гэж найдaя.

Энэ интегралын дvрслэлийг дээр зурж тавьлаа.

Энэ бидний саяны тодорхойлсон функцийн график.

Теорем 33

Хэрвээ х, у > 0 бол

log(xy) = log(x) + log(y)

Баталгаа

Ньютон - Лейбницийн Теорем ёсоор log'(x) = 1/x байна. Дурын y>0 байг, бас f(x) = log(xy) гэе. Тэгвэл

Єєрєєр хэлбэл =log'. Энэ нь log(xy) = log(x) + c гэсэн vг билээ. Одоо c - г олъё.

log(1y) = log(1) + c = c

байна. Тэгэхлээр

log(xy) = log(x) + log(y)

байна. Энэ нь дурын y - ийн хувьд болохлээр теорем маань батлагдлаа.

Энэ теоремийг ашиглаад log(xⁿ) = n log(x) (индукцын аргаар), бас

гэх зэргийг баталж болдог. Логрифмийн функц хязгааргvйгээр єсдєг, бас х тэгд ойртох тусам хязгааргvйгээр бага болдог. (Энийг батлах хялбар дасгал би удахгvй бодлогууддаа оруулна, жаахан тэсэж бай.) Тиймээс log - ийн утгын муж бvх бодит тооны олонлог. Бид одоо log - той адилхан суурьтай илтгэгч функцийг тодорхойлоход бэлэн боллоо. Хялбараа бодож энэ сууриа мэдэхгvй ч, тодорхойлогдоогvй ч гэсэн e гэж тэмдэглэе.

e^x = log^-1

log - ийн утгын муж нь (0, ) учраас бид зэрэгт дэвшvvлэх функцийг бvх х - ийн хувьд (х иррационал байсан ч хамаагvйгээр) тодорхойлж байна.

Теорем 34

Бодит бvх х - ийн хувьд g(x) = e^x гэе. Тэгвэл g'(x) = e^x.

(Єєрєєр хэлбэл энэ функцийн уламжлал нь энэ функц єєрєє байна.)

Хэдхэн єгvvлбэрийн ємнє бидний тодорхойлж чадахгvй байсан функцийн уламжлалыг ийм амархан баталж болж байна! (Тэгэхлээр битгий шантар.)

e тоог бид дараа дэлгэрэнгvйгээр нь vзэх болно. (Одоохондоо бид энэ тоог хэдтэй тэнцvv байдгийг ч мэдэхгvй явна.)

Нэг юм анхааруулахад бидний одоо бичээд байгаа e суурьтай log - ийг ln(x) гэж бичдэг. Энэ функц амьдралд элбэг тохиолдодог болохлээр log naturilas гэж латинаар тэмдэглэжээ. Бид ч гэсэн тэгэж бичиж байх болно. Харин 10 суурьтай log функцийг зvгээр л log(x) гэж бичдэг. Тэгэхлээр бид тэмдэглэгээгээ сольлоо шvv!

<--Тригнометрийн Функц (3) | Хичээлvvд | Илтгэгч ба Логрифмийн Функцууд (2)-->

Энэ хичээлийн талаарх санал бодлоо болон хэрвээ энд ямар нэгэн алдаа байвал энд бичиж явуулна уу?