Илтгэгч ба Логрифм Функцууд (2)

Хичээлээ эхлэхээсээ ємнє нэг юмийг анхааруулъя: бидний ємнє нь хэрэглээд байсан log - ийг энд ln гэж тэмдэглэнэ шvv! (Суурийг нь мэддэггvй байснаас болоод ингэж тэмдэг хольж хутагалаа.)

Теорем 35

Дурын х, у - ийн хувьд e^x+y = e^x e^y байна.

Баталгаа

a = e^x, b = e^y гэе. Тэгвэл х = ln(a), y = ln(b) байна. Тэгэхлээр x + y = ln(a) + ln(b) = ln(ab). Энэ нь e^x+y = ab = e^x e^y гэсэн vг билээ.

Бид одоо e - гээс єєр суурьтай илтгэгч функцуудийг тодорхойлно.

a > 0 бол бvх х - ийн хувьд а^х = e^xln(a) гэнэ.

Теорем 36

а > 0 бол (a^b)^c = a^bc, а^x+y = a^x a^y байна.

Баталгаа

Илтгэгч функцуудийн графикыг яаж єєрчлєгдєдгийг дараах зургаас харж болно.

1^х = 1 байна. а > 1 vед функц маань єсєж, а < 1 vед функц маань буурж байгааг хялбархан харж болно. а^х функцийн уламжлал a^xlog(a), log_ax функцийн уламжлал ln(x)/ln(a) болохыг олж болно.

Одоо f(x) = g(x)h(x) хэлбэрийн функцийн уламжлалыг яаж олох тухай ярья. Тодорхойлолт ёсоор

g(x)^h(x) = e^h(x)ln(g(x))

билээ. Тэгэхлээр 8-р теоремийг хэрэглэвэл

Энийг цээжлэх хэрэг байхгvй, зvгээр л иймэрхvv тохиолдолд 8-р теоремийг хэрэглэдэг гэдгийг л санаж яв.

Харин бид уламжлалын тухай vзэж байхдаа f(x)=x^a функцийн уламжлалын томъёог батлалгvй vлдээсэн. Энийгээ бvх х - ийн хувьд батлая.

Теорем 37

Ямар нэгэн бодит а тоогийн хувьд f(x) = x^a бол (x) = ax^a-1

Баталгаа

Тодорхойлолт ёсоор f(x) = x^a = e^aln(x) билээ. Тэгэхлээр

Одоо шал єєр юмний тухай vзье. e^x функц олон гишvvнт функцээс яаж ч байсан хурдан єсдєг. Єєрєєр хэлбэл

Теорем 38

Дурын n - ийн хувьд .

Баталгаа

Бид гурван шатаар явж байж энэ теоремийг батлана.

Нэг.

n = 0 vед байхыг батлая. e^x > x байхыг л vзvvлэхэд болж байна. Учир нь х - д хязгаар гэж vгvй билээ. ln - ийг нь олвол x > ln(x) болохыг х > 0 vед батлах хэрэгтэй болж байна. х < 1 vед ln(x) сєрєг байдаг. х > 1 vед доорх зургийг ажиглая:

x - 1 нь f(t) = 1/t функцийн [1, x] завсар дээрх нэг S байна. Тэгэхлээр ln(x) < x - 1 < 1.

Хоёр.

Бид одоо болохыг батлана.

Хаалтан дотор байгаа нь 1 - ээс их (учир нь e^x > x), учир байж таарна.

Гурав.

Теоремоо батлахын тулд

болохыг ажиглана уу. Хаалтанд байгаа нь 1 - ээс их, х--> гэхэд ихсээд байна. Тэгээд бас 1/(nⁿ) чинь зvгээр л нэг тоо болохоор теорем маань батлагдав.

Илтгэгч ба Логрифмийн Функцууд (1) | Хичээлvvд | Интегралчилах-->

Энэ хичээлийн талаарх санал бодлоо болон хэрвээ энд ямар нэгэн алдаа байвал энд бичиж явуулна уу?