Уламжлалын Хэрэглээ (3-р хэсэг)

Дараах теорем нь 11-р теоремийн ерєнхий тохиолдол юм.

Теорем 14

f, g хоёр функц нь [a, b] завсар дээр тасралтгvй ба (a, b) завсар дээр уламжлалтай бол

g'(x)[f(b) - f(a)] = (x)[g(b) - g(a)]

тэнцэтгэлийг хангах х нь (a, b) завсараас олдоно.

(g(x)=x байхад бид 11-р теоремийг авч байна.)

Баталгаа

h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)] гэе. h(x) бас [a, b] завсар дээр тасралтгvй ба (a, b) завсар дээр уламжлалтай байна. h(a) = f(a)g(b) - g(a)f(b) = h(b) байгааг анхаарвал 10-р теорем ёсоор h'(x) = 0 тэнцэтгэлийг хангах х - ийг бид (a, b) завсараас олж чадна. Тэгэхлээр

0 = (x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)] байна.

Энэ теорем бидэнд дараах теоремийг батлахад туслана:

Теорем 15

ба гэе. Хэрвээ хязгаар тодорхой байвал хязгаар тодорхой байх ба,

тэнцэтгэл биелэнэ.

Баталгаа

хязгаар тодорхой байна гэдэг маань бидэнд (a-, a+) завсар дараахыг vнэн байхаар олдоно:

1. (x), g'(x) хоёр функц энэ завсар дээр тодорхой байна. (а дээр харин тодорхой байх албагvй)
2. Энэ завсар дээр g'(x)0 байна. (а дээр харин ийм байх албагvй) (*)

f(a)=g(a)=0 гэвэл f, g хоёр функц маань а дээр тасралтгvй болж байна. a < x < a+ гэвэл 11, 14 - теоремууд [a, x] дээр ашиглагдахаар байна. Эхлээд g(x)0 байгааг мэдэж болно. Учир нь, хэрвээ g(x)=0 байсан бол 11-р теорем ёсоор g'(b)=0 гэсэн b - г (a, x) дотроос олж болно. Энэ нь (*) - той зєрчилдєж байна. g(x)0 гэсэн болохлээр бид 14-р теоремийг ашиглаж болно. 11-р теорем ёсоор бид

g'(y)[f(x)-0] = (y)[g(x)-0]

тэнцэтгэлийг хангах у - г (а, х) завсараас олж болно. Хэрвээ х-->a байвал y-->a байна. Яагаад гэхлээр у чинь (а,х) дотор байгаа билээ. Тэгэхлээр

байна.

Бид тригнометрын функцvvдийг vзсэнийхээ дараа л 15-р теоремийг ашиглана. Энд уламжлалтай холбоотой болохлээр нь баталчихлаа. :)

Функцийн график зурж сурахад одоо бидэнд нэг л юм vзэх vлдлээ. Энэ нь функцийн 2-р эрэмбийн уламжлалын ашиглалт юм. Бид 2-р эрэмбийн уламжлалыг ашиглаад нэг чухал юмийг олж мэддэг, тэр нь:

Хэрвээ ямар нэгэн завсар дээр оршдог дурын хоёр (а, f(a)), (b, f(b)) хоёр цэгийг холбосон шулуун шугам f функцийн графикийн дээр оршиж байвал f функцийг бид хотгор функц гэж нэрэлдэг.

Бид f функцыг яагаад хотгор гэж нэрлэж байгааг энэ зураг дээрээс харж байна. Яг vvний эсрэгийг гvдгэр функц гэж нэрэлдэг. Бид голдуу хотгорын тухай ярина. Учир нь гvдгэр нь хотгорын яг эсрэг нь байдаг болохлээр ойлгомжтой гэсэн vг.

Тэр шулуун шугамыг функцээр илэрхийлээд, f(x) тэй жишвэл

байн. Тэгэхлээр, хэрвээ а<x<b бол

байна.

Теорем 16

Хэрвээ f нь уламжлалтай бєгєєд єсєж байвал (єєрєєр хэлбэл f функцийн 2-р эрэмбийн уламжлал эерэг байна) f хотгор функц.

Баталгаа

а < b гэе.

гэвэл g''>0 (єєрєєр хэлбэл g' єсєж байна), бас g(a)=g(b)=f(a) байна. Тэгвэл а < x < b - г хангах х болгоны хувьд

g(x) < g(a) = g(b)

байна. Учир нь, хэрвээ эсэргээр нь g(x) > g(a) = g(b) бол бид (a, b) дотроос g(x₁) - г max байхаар х₁ олно. max болгон дараах шинж чанартай байдаг: g(x₁)>g(a), g'(x₁)=0. Хэрвээ бид 11-р теоремыг [a, x₁] хэсэг дээр ашиглавал бид

- г хангах х₂ - ийг олно.

Энэ нь g' єсєж байна гэдэгтэй зєрчилдєж байна. Тэгэхлээр ямарч байсан g(x)g(a)=g(b) байна. g(x)=g(a) гэдгийг батлах л vлдлээ.

Хэрвээ g(x)=g(a) байсан бол g(x₁)<g(a), а < x₁< x гэсэн х₁ байна. (Учир нь g(x) маань [a, x] дээр шугаман функц биш.) Одоо дахиад л 11-р теоремийг [x₁, x] завсар дээр ашиглая. Тэгэлхээр бид

- г хангах х₂ - ийг олно.

Энэ нь бас л g' єсєж байгаа гэдэгтэй зєрчилдєж байна. За тэгэхлээр бид

g(x) < g(a) = g(b)

байхын баталчихлаа. Тиймээс, хэрвээ a<x<b бол

байна. Єєрєєр хэлбэл

Бид энэ нь хотгорыг єєр нэг тодорхойлолт гэдгийг мэднэ.

Хотгороос гvдгэрлvv шилжэхийн тулд (g''>0 -> g''<0) g'' функц маань тэгээр дайрч гарах хэрэгтэй байна. Бид g''(x)=0 байгаад, функц маань хотгороос гvдгэртлvv шилжиж байвал х - ийг хувьрах цэг гэж нэрлэх болно. Нэг юмийг анхааруулая: g''(x)=0 гэсэн л бол х нь хувьрах цэг гэсэн vг биш шvv! Хувьрах цэг байхын тулд х - ийн хоёр талд g'' маань сєргєєс эерэгрvv, эсгvй бол эерэгээс сєрєгрvv шилжэж байх ёстой. Нєгєє тохиолдол болох эерэгээс (сєрєгєєс) тэгд ойртож, тэгийг шvргэчихээд буцаад эерэг (сєрєг) - рvvгээ тэмvvлэх функцvvдийн хувьд тухай цэг нь хувьрах цэг биш байна. Яагаад гэдгийг ойлгохын тулд геометрийн дvрслэлээр л толгойндоо бодох хэрэгтэй.

Дээрх зургийн сайн ажиглая. (-, 0) завсар дээр функцийн маань уламжлал багасаж байгааг (эерэг -> сєрєг), (0, ) завсар дээр функцийн маань уламжлал ихсэж байгааг (сєрєг -> эерэг) сайн ажиглана уу? 2-р эрэмбийн уламжлал бас яаж єєрчлєгдєж байна?

Бид одоо max, min, хотгор, гvдгэр, функц тодорхойгvй цэгийн дэргэд яадад вэ, хувьрах цэг, сэжигтэй цэг зэргийг vзлээ. Эдгээрийг нийлvvлж байгаад одоо функцийн графикийг єєрсдєє зурж эхлэнэ дээ! Хэдийгээр ийм олон юм байгаа болов ч функцийн графикийг зурах ажил нь олон дасгал хийсний дараа аяндаа амархан болдог (их л ажил орохоос биш).

<--Уламжлалын хэрэглээ (2) | Хичээлvvд | Функцийн Графикийг зураг -->

Энэ хичээлийн талаарх санал бодлоо болон хэрвээ энд ямар нэгэн алдаа байвал энд бичиж явуулна уу?