Теорем 8 - ийн баталгаа.

Дифференциалчлах бvлгийн олон теорем тодроос хамгийн чухалд нь тооцогдох нэг теоремийг бид батлах болно. Энэ теорем нь гэж заасан байдаг бєгєєд давхар функцvvдийн уламжлалуудыг олоход зориулагдсан нь харагдаж байна. Одоо батлах гээд оролдоод vзье (доорх бол жинхэнэ баталгаа биш, зvгээр л оролдлого шvv!):

Эхлээд давхар функцийнхээ уламжлалыг тодорхойлолтынхоо дагуу бичье:

Тэгэхлээр g(a+h) - g(a) = k(h) гэвэл

байж магадгvй байна. Бид юун дээр найдаж байна гэхлээр h-->0 болоход k(h)-->0 гэж магадгvй байна. Харамсалтай нь k(h)-->0 биш харин k(h)=0 болчихвол хамаг юм буруутачихгаад байна. (Ямар ч тоог тэгээр хувааж болохгvй!) Жишээ нь: g(x)=c бол k(h)=0 байна. Энийг бодолцоод одоо баталгаагаа эхлэе.

Теорем 8

g нь a дээр, f нь g(a) дээр уламжлалтай байг. Тэгвэл f(g(a)) нь а дээр уламжлалтай ба

Баталгаа

Бид энэ нvсэр том харагдах функцийг а дээр тасралтгvй гэдгий батлах хэрэгтэй байна. Єєрєєр хэлбэл

f нь g(a) дээр уламжлалтай билээ. Тэгэхлээр f нь g(a) дээр тасралтгvй байна. Тэгэхлээр, дурын >0 болгонд 0<|k(h)|<₁ тэнцэтгэл бишийг хангах бvх k(h) - ийн хувьд

(1)

тэнцэтгэл биш биелж байхаар ₁>0 тоо олдоно. Бас g нь а дээр тасралтгvй болохлээр дурын ₁>0 болгонд |h|< тэнцэтгэл бишийг хангах бvх h - гийн хувьд

(2) |g(a+h) - g(a)|<₁

тэнцэтгэл биелж байхаар >0 тоо олдоно. Одоо |h|< тэнцэтгэл бишийг хангах дурын h байлаа гэе. Хэрэвээ k(h) = g(a+h) - g(a) 0 байвал

байна. Тэгэхлээр (2) - оос |k|<₁ гэж гарч байна. Тэгэхлээр (1) - ээс

|y(h) - f'(g(a))|<

гэдэг нь vнэн болж байна. Харин k(h)=0 байсан бол

|y(h) - f'(g(a))| = 0 <

байна. Тэгэхлээр бид

гэдгийг баталлаа. Харин одоо

Энэ теоремийн баталгаа анх уншихад жаахан ойлгомжгvй байж магадгvй. Хэдэн зєвєлгєє: Хязгаар, тасралтгvйн ухагдхуун, болон уламжлалын тодорхойлолтыг иргээгээд сайн уншаарай.

Уг нь анхнаасаа л y(h) функц а дээр тасралтгvй байна гэдэг нь ойлгомжтой байсан билээ. Тэгвэл яагаад тэр ганц мэдээжийн юмийг батлах гэж ингэж их цаг зав авах шаардлагатай гэж? Математикийн анализд бид хамаг юмийг тов тодорхой, нарийн байлгах ёстой. Нэг л юм буруу бол хамаг юм буруутна. (Жишээ нь бидний дээр vзсэн нэг тохиолдол дээр хамаг юм зvгээр явж байтал k(h)=0 гээд гараад ирсэн. Ямар нэгэн тоог 0 - оор хувааж болохгvй болохлээр бид ийм урт баталгаа єгєх шаардлага гарсан билээ.) Математикт бид сэтгэх хэрэгтэй. Эхлээд сэтгэж бодож олно. Дараа нь тэрийгээ цаасан дээр буулгах хэрэгтэй. Буулгахдаа дээр хэлсэнчилэн бvх тодорхойлолтууд, теоремуудыг нарийн, тов тодорхой байлгаж, бvх баталгаануудаа бvрэн бvтэн байлгах хэрэгтэй. (За энэ бол миний зєвєлгєє биш шvv, ахмад багш нар ингэж зєвєлсєн шvv! Ахмад багш нарын хэлсэнийг л танд сонордуулж байна.)

Энэ баталгааны талаарх санал бодлоо болон хэрвээ энд ямар нэгэн алдаа байвал энд бичиж явуулна уу?