Уламжлалын Хэрэглээ (2 - р хэсэг)

Бид ємнє нь єсєж байгаа функц, буурж байгаа функц гээд л ярьж байсан билээ. Одоо энэ хэллэгээ арай тодорхой болгоё:

a, b хоёр тоо нь f функц тодорхойлогдсон завсарт багтдаг гэе. Хэрвээ а < b болгонд f(a) < f(b) (эсэргээр нь f(a) > f(b) байна) байвал f функцийг тухайн завсар дээр єсєж (буурж) байна гэдэг.

Теорем 12

Тодорхой завсарын бvх х - гийн хувьд (x) > 0 ((x) < 0) байвал f функц тэр завсар дээр єсєж (буурж) байна.

Баталгаа

(x) > 0 тохиолдолыг нь л авч vзье, яагаад гэвэл нєгєє тохиолдолыг нь тєсєєтэй аргаар баталж болно. Хэрвээ a, b хоёр нь тухайн завсарт багтдаг ба a < b бол 11-р теорем ёсоор

- г хангах х олдоно. х чинь єєрєє (a, b) завсарт багтаж байгааг анхаарна уу. (x) > 0 гэж хэлсэн болохлээр

байна. b - a > 0 болохлээр f(b) - f(a) > 0 байна.

Бид ємнє нь max, min хоёрыг олохдоо (x) = 0 тэгшитгэлийг бодож байсан. Гэхдээ х - г олсныхоо дараа f - ийг х дээр max - тай байгаа юм уу, min - тэй байгаа юм уу гэдгийг яаж мэддэг юм бэ? Мэдээж буцаад функцэндээ х - ийгээ оруулж болно. Гэхдээ функцээ х - дээр ойрын max (min) - тэй байгааг яаж мэдэх вэ? Доорх зургийг сайн ажиглавал бид яах хэрэгтэйг олж болно:

Дээрх зурган дээр f ойрын max - тай байна. Тэгэхлээр хэрвээ ямар нэгэн тасралтгvй функц х хvртэл єсєж байснаа х - ээс хойш буураад эхэлвэл мэдээж х чинь ойрын max. (Энийг овоогоор сэтгэж болно) Ойрын min - ийг яг эсэргээр нь сэтгэж болно (жалга гээд бодвол, эхлээд уруудаж байснаа дараа нь єгсєєд эхэлдэг шvv дээ!). Бид функцийг эхлээр єсєж байснаа дараа буурах болно гэж хэлж байна, яагаад гэдэг нь бас л ойлгомжтой байх ёстой. Яг энэ цэг дээр (x) = 0 байгааг анхаарах хэрэгтэй. Тэгээр дайрч єнгєрєхийн тулд эхлээд сєрєг байж байгаад, дараа нь эерэг болно оо доо.

Ер нь f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ...+ a₀ хэлбэрийн функцийн ерєнхий тохиолдолыг авч vзье. Эхлээд ийм тэгшитгэл байсан гэж бодъё. Тэгвэл энэ тэгшитгэлд n - ээс олон хариу байж болохгvй. Одоо vvнийгээ батлая.

Хэрвээ х₁, x₂ хоёр тоо энэ тэгшитгэлийн язгавар нь бол, єєрєєр хэлбэл f(x₁)=f(x₂)=0 бол, 10 - р теорем ёсоор х₁, x₂ хоёрын завсар (x) = 0 - г хангах х байна. Тэгэхлээр хэрвээ f тэгшитгэл к язгууртай байсан бол (х₁< x₂< ... < x_k) тэгшитгэл дор хаяж к-1 язгууртай байна. Одоо математик индукцийн арга хэрэглэе. n = 1 байхад тэгшитгэл маань нэг язгууртай байна. g' тэгшитгэл n - ээс олон язгуургvй гэе, тэгвэл g тэгшитгэл n + 1 - ээс олон язгуургvй. Яагаад гэвэл, хэрэв g функц n+1 - ээс олон язгууртай бол g' тэгшитгэл n - ээс олон язгууртай болчихгоод байна.

Одоо бид хялбархан функцvvдийн графикийн зурж чадах хэмжээнд хvрлээ. Гэхдээ арай л болоогvй байна. Зарим функцvvд зарим цэг дээр тодорхойлогдоогvй байдаг. Жишээ нь,

функц х=1 дээр тодорхойлогдоогvй байна. Функц маань х нэгд ойртоход яадаг цм бэ? Одоо тэгвэл энэ функцийн графикийг зуръя. f - ийн уламжлалыг олвол:

байна. Тэгэхлээр сэжигтэй тоонууд маань х = 0, 2 байна. Одоо функц маань сэжигтэй тоонууд дээрээ хэд гардaгийг олoё. f(0) = -2, f(2) = 2. Бид функцээ єсєж байна уу, буурж байна уу гэдгийг мэдэхийг хэрэгтэй байна. 12-р теорем ёсоор, vvнийг судлахын тулд функцийн маань уламжлал тодорхой хэсгvvд дээр эерэг байна уу, сєрєг байна уу гэдгийг мэдэх хэрэгтэй:

Одоо нэг л юмийг мэдэх vлдлээ: х--> (x их болох), х-->- (х бага болох), х-->1 (х нэгд ойртох) - д функц маань яадаг вэ? Эхлээд

болохлээр х--> гэхээр f(x)-->, х-->- гэхээр f(x)-->- болохыг харахад тєвєггvй. (Єєрєєр хэлбэл, х аймаар том болоход 1/(x-1) аймаар жижигхэн болно, тэгэхлээр энийг тоохгvй vлдээж болох юм). Бас

байна. Учир нь хуваагдагч нь 1-д ойртоод байхад, (х-1) нь багассаар байна. (Хамгийн гол нь f(x) функц эерэг байна уу, сєрєг байна уу гэдгийг сайн анхаараарай.) За одоо энэ их олон хариултуудыг нэгтэгээд функцийнхээ графикийг зуръя:

Тэр хоёр бор зураасны тухай бид энэ хичээлийн дараагийн дараагийн хичээл дээрээс авч vзэх болно. f(x) бидний бодсон ёсоор 2 дээр ойрын min, 0 дээр ойрын max - тай байгааг ажилгаж болно.

Хэдийгээр бид хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг яаж ашиглах тухай дараагийн хичээл дээрээ сайн vзэх болов ч, одоо нэг теоремийг батлах болно.

Теорем 13

(a)=0 гэе. Хэрвээ (а)>0 ((а)<0) бол f а дээр ойрын min (max) - тай.

Баталгаа

Тодорхойлолт ёсоор,

(а) > 0 гэе. Тэгэхлээр бидний дээр єгсєн хязгаараас харвал

1. h⁺-->0 гэхэд (a+h) эерэг байна.
2. h^--->0 гэхэд (a+h) сєрєг байна.

Энэ нь f функц 12-р теорем ёсоор а - гийн зvvн талд єсєєд, а - гийн баруун гар талд буурж байгаа гэсэн vг билээ. Тэгэхлээр функц маань а - гийн дэргэд ойрын min - тай байна. (а) < 0 тохиолдолыг тєсєєтєйгєєр баталж болно.

Энийг хар ухаанаад бодоход ойлгомжтой байна... Хэрвээ (а) > 0 бол (а) єссєєр байна. (а)=0 гэсэн болохлээр, єсєж байгаа функц юм чинь, (а) чинь а - гийн зvvн талд сєрєг байснаа, а - гийн баруун талд эерэг болж ирж байна. Тэгэхлээр f функц маань а - гийн баруун талд буурж байснаа, а - гийн зvvн талд єгсєєд эхэлж байна.

<--Уламжлалын хэрэглээ (1) | Хичээлvvд | Уламжлалын хэрэглээ (3)-->

Энэ хичээлийн талаарх санал бодлоо болон хэрвээ энд ямар нэгэн алдаа байвал энд бичиж явуулна уу?