Уламжлалын Хэрэглээ

За уламжлал гэж сурчихаад тэрнийгээ юунд хэрэглэдгийг нь мэдэхгvй бол болохгvй байх. Уламжлал интегралтай нийлэхээрэй хамгийн хvчтэй болдог. Ньютон - Лейбницийн томъёо энийг баталдаг. Гэхдээ уламжлалууд нь єєр олон янзын хэрэглээтэй.

Юуны ємнє функцийн графикийг байгуулахад 1 ба 2-р эрэмбийн уламжлалууд хэрэг болдог. Бас уламжлалын тусламжтайгаар бид функцийн max, min хоёрыг олох болно. За тэгэхлээр max, min гэж яг юу болохыг тодорхойлонгоо яриагаа эхлэе.

f(x) функц нь D тодорхойлох мужтай бєгєєд байг. Хэрвээ бvх у - гийн хувьд

бол f функц х дээр хамгийн их утгаа авч байна. f(x) - ийг бид max гэдэг (максимум гэж бас нэрэлдэг). Хэрвээ (яг эсэргээр нь) f функц х дээр хамгийн бага утгаа авч байвал f(x) - ийг f функцийн min гэдэг (минимум).

Дээрх зураг дээр ногоон функц нь а дээр min - тэй, цэнхэр функц нь x дээр мах - тай байна. Одоо нэг чухал теоремыг батлая.

Теорем 9

f функц (a, b) завсар дээр тодорхойлогдсон гэе. Хэрвээ f(x) нь f функцийн max (эсгvй бол min) бєдєєд f нь а дээр уламжлалтай бол (x)=0.

Баталгаа

Зvгээр хар ухаанаар бодвол энэ нь ойлгомжтой байна. Дээрх зураг дээр max (min) - г шvрэгсэн шулуун зурвал тэр шулууны хазайлт нь 0 байна. Одоо энэ санаагаа математикийн аргаар батлая.

Эхлээд f(x) - ийг max гэж гэж бодъё. Хэрвээ x+h тоо (a, b) завсарт байдаг бол

байна. Учир нь f(x) нь max билээ. Тэгэхлээр

(1)

байна. Хэдийгээр бид h-->0⁺, h-->0^- гэж юу болохыг хэлээгvй ч, энэ нь бараг єєрийгєє тайлбарлаад єгчихдєг: h-->0⁺ дээр нь h маань баруун талаас нь 0-д ойртож байна (энд h vргэлж эерэг байна), h-->0^- дээр нь h маань зvvн талаас нь 0-д ойртож байна (энд h vргэлж сєрєг байна).

f функц х дээр уламжлалтай болохлээр (1) - ийг дараах маягаар бичнэ:

Энэ теоремоос харвал, бас хар ухаанаар бодвол, бид заавал бvхэл бvтэн функцийн тухай ярих албагvй, харин функцийг тодорхой нэгэн хэсэг дээр ярьж болох юм. Энэ хэсэг маань єєрийн гэсэн min, max - тай байх нь ойлгомжтой байна. Бид энэ санаагаа ингэж тодорхойлдог:

Хэрвээ f(x) нь D(x - , x + ) дээр max (min) байхаар тоо олдож байвал f(x) - ийг бид дээрх завсар дээрх ойрын max (min) гэж хэлдэг.

Бас нэг чухал юмыг анхаарна уу: 9-р теорем урвуугаараа худлаа шvv! (x)=0 байлаа ч гэсэн f(x) нь max (min) байх албагvй. Жишээ нь: f=x³ байг. (0)=0 болов ч 0 дээр f функц - д max (min) байхгvй байна.

Харин бид (x)=0 - ийг хангах бvх x - vvдийг сэжигтэй цэгvvд гэж нэрэлдэг.

Ямар нэгэн функц єгєгдсєн байхад тодорхой нэгэн завсар [a, b] дээр яаж max (min) - ийг олох вэ? Альваа нэгэн [a, b] дээр орших max (min) болох f(x) нь дараах гурав чанрын аль нэгийг агуулсан байдаг:

1. x нь [a, b] дээрх сэжигтэй цэг.
2. х=а юм уу, эсгvй бол х=b (захын цэгvvд)
3. f нь х дээр уламжлалгvй.

Одоо нэг жишээ авч vзье (Энэ жишээг Spivak - ийн Calculus номноос шууд авсан болно). g(x)=x³ - x гэе. Бид [-1, 2] завсар дээр энэ функцийн max, min - ийг олох болно. Юуны ємнє g'(x)=3x²-1 байгааг бодож олно. Бид дээр жигсаасан гурван шинж чанарыг агуулсан х - г хайж байгаа билээ. Эхлээд g'(x)=0 - г хангах х - vvдийг олъё. Энэ тэгшитгэлийг бодвол,

байна. Энэ хоёр сэжигтэй цэгvvд маань [-1, 2] завсарт оршихийг шалгаж болно. Энэ функц нь бvх тодорхойлох муж дээрээ уламжлалтай байгааг анхаарвал max (min) дараах цэгvvдийн аль нэгэн дээр нь байна:

1. (сэжигтэй цэгvvд)
2. -1, 2 (захын цэгvvд)

Одоо эдгээр цэгvvдээ буцаад g - д оруулж аль нь их, аль нь бага болохыг харах л vлдлээ:

Тэгэхлээр min нь , max нь 6 байна.

Теорем 10

f нь [a, b] дээр тасралтгvй, (a, b) дээр уламжлалтай ба f(a)=f(b) бол (a, b) дотор (x)=0 тэнцэтгэлийг хангах x олдоно.

Баталгаа

f функц [а, b] дээр тасралтгvй болохлээр [a, b] дээр max (min) - тэй. Хэрвээ тэр max (min) нь (a, b) дотор байдаг бол 9-р теоремоор (x)=0. Хэрвээ max (min) нь а, b хоёрын аль нэг нь бол f(a)=f(b) болохлээр функц маань налуу функц байна. Энэ тохиолдол дээр бид [a, b] дотроос дуртай х - гээ сонгон авч болно.

Хэдийгээр 10-р теорем маань тийм чухал теорем биш болов ч, бидэнд маш чухал 11-р теоремийг баталхад туслана.

Теорем 11

f нь [a, b] дээр тасралтгvй ба (a, b) дээр уламжлалтай байг. Тэгвэл дараах тэнцэтгэлийг хангах х (a, b) завсар дотроос олдно:

Эхлээд энэ теоремоо жаахан тайлбарлая. (Тэгээд дараа нь батлая.) Доорх зураг дээрээс геометрийн дvрслэлийг нь харж болно:

f(x) - ийг шvргэгч шугам (a, f(a)) - гээс (b, f(b)) хvртэл татсан шугамтай паралелл байна. Машин нэг газраас нєгєє газар хvртэл дунджаар 60 км/цаг - ийн хурдтай явсан гэж бодъё. Хар ухаанаар бодвол машин нэг мєчид яг 60 км/цагийн хурдтай явж л байсан байж таараа. Одоо теоремоо батлая.

Баталгаа

Дээрх зураг дээрх L шулуун шугамыг g(x) функцийн график гэж vзвэл

байна. (Яагаад энэ болохыг бид яаг энэ сvлжээндээ тодорхой ярьж байгаагvй. Гэхдээ шугаман функцийн талаар сайн судалгаа хийвэл энэ аяндаа ойлгомжтой болно.) Одоо f функцээс g функцийг хасъя. Геометрээр дvрслэн бодвол иймэрхvv функц гарна:

Бид энэ шинэ гарсан функцээ h(x) гээр тэмдэглэе:

"-f(a)" тоо функцийн графикийг дээш доош нь хєдєлгєхєєс єєр оройлгvй болохлээр бид энэ тоог хаслаа. Бас h нь [a, b] дээр тасралтгvй бєгєєд (a, b) дээр уламжлалтай байна. Тэгэхлээр...

<--Дифференциалчлах Vйлдэл | Хичээлvvд | Уламжлалын хэрэглээ (2)-->

Энэ хичээлийн талаарх санал бодлоо болон хэрвээ энд ямар нэгэн алдаа байвал энд бичиж явуулна уу?