Washington, DC - д 2001 онд болсон Олон Улсын Математикийн Олимпиадын бодлогууд

Энэ олимпиадаас зургаан сурагчдын бvрэлдхvvнтэй манай улсын баг хоёр мєнгє, хоёр хvрэл медальтай нутаг буцсан билээ. ОУМО - д 20 - иос доош насны, их сургуульд ороогvй хvvхдvvд ордог.

Бодлого 1

ABC хурц єнцєгт гурвалжин байлаа гэж бодъё. Энэ гурвалжинг багтаадаг тойргийн тєвийг O - гоор тэмдэглэе. Мєн BC дээр оршдог P цэг нь А - гаас буусан єндєрийн нэг vзvvр гэе.

Хэрвээ бол болохыг батал.

Бодлого 2

Дурын бодит эерэг a, b, c тоонуудыг хувьд

болохыг батал.

Бодлого 3

21 эмэгтэй, 21 эрэгтэй хvvхэд математикийн олимпиадад оролцож гэнэ ээ. Хvvхэд болгон 6 - гаас олон бодлого бодоогvй ба дурын охин, хvv хоёр сонгон авахад тэр хоёр ядаж нэг бодлогыг хоёулаа бодсон гэе. Тэгвэл ядаж 3 охин, 3 хvv зургуулаа бодсон нэг бодлого байна гэдгийг батал.

Бодлого 4

n - ийг 1 - ээс их сондгой натурал тоо гэе. k₁, k₂,...,k_n бvхэл тоонууд болно. n! ширхэг 1, 2,...,n - ийн а = (а₁, а₂,...,а_n) сэлгэмэл болгонд

гэе. S(b) - S(a) нь n! - д хуваагдах хоёр b, c (b c) сэлгэмлvvд олдоно гэж батал.

Бодлого 5

ABC гурвалжин байлаа гэж бодъё. AP шугам нь BAC єнцгийн, BQ нь ABC єнцгийн бисиктрес гэе.

гэвэл ABC гурвалжингийн єнцгvvдийнх нь хэмжээг (градус) ол.

Бодлого 6

a, b, c, d нь бvхэл тоонууд ба a > b > c > d > 0 гэе. Хэрвээ ac + bd = (b + d + a - c)(b + d - a + c) бол ab + cd нь зохиомол тоо болохыг батал.

Жич: Энэ бодлогуудын эхийг болон бодолтуудыг нь англи хэл дээр олимпиадых нь албан ёсны хуудаснаас нь vзэж болно. (Мєн зарим нэг бодлогуудыг нь ойлгоогvйгээс болж орчуулгын алдаа гарсан байж болно, тэгвэл яаралтай холбоо барьж туслана уу?)