Урвуу Функц

Бид дээр функцийг (х, у) хос тоонуудыг цуглуулга гэж ярьж байсан. Энэ хоёр тоог солиод, (у, х) гэсэн хос тоо гаргаж болохоор санагдаж байна. Бид энэ санааг энэ хичээлдээ улам дэлгэрvvлэн бодно.

Ямар ч - ийн хувьд, ху байхад f(x)f(y) бол f функцийг харилцан нэг утгатай (Х.Н.У) функц гэдэг.

Жишээ нь f(x)=х² функц Х.Н.У функц биш байна. Яагаад гэвэл (-1)²=(1)² байна. Ер нь тэгш функц болгон Х.Н.У функц биш болохлыг харж болно. Харин х² функцийн тодорхойлогдох мужыг єєрчлєєд Х.Н.У функц гарган авч болно: f(x) = { [0, ) дээр x² }. Х.Н.У функцvvдийг графикаас бvр амархан харж болно:

Цэнхэр функц Х.Н.У функц биш байна. (Хар шугам цэнхэр функцийг хоёр удаа огтолж байна.) Харин ногоон функц Х.Н.У функц байна. (Ногоон функц хар шугамыг яаж ч байсан нэгээс илvv огтлохгvй байна.)

Хэрвээ (b, a) хос тооны цуглуулга f функцийг бvрдvvлдэг бол (a, b) хос тооны цуглуулгыг f ^-1 гэж тэмдэглэдэг. Хэрвээ f ^-1 нь функц бол бид энэ функцийг f - ийн урвуу функц гэж уншдаг.

Теорем 17

Зєвхєн f нь Х.Н.У байхад л f ^-1 нь функц байна.

Баталгаа

f ^-1 - ийг функц гэж бодъё. f(b)=f(c) гэвэл f - д (b, f(b)), (c, f(c)) гэсэн хос тоонууд байна. (c, f(c))=(b, f(c)) болохлээр (f(b), b), (f(c), c) хос тоонууд нь f ^-1 - д байна. Бид f ^-1 - ийг функц гэж vзэж байгаа болохлээр b=c байна. b=c гэдэг маань f - ийг Х.Н.У функц байх ёстой гэж байна.

f ^-1 функцийн графикийг бид f функцийн графикийг g(x)=x функцийн график дээгvvр ойлгож зурж болдог (хос тоонуудыг нь сольж тавьдаг болохлээр).

Хэрвээ f ^-1 - ийн графикийг дахиад х дээгvvр ойлговол бид f функц дээрээ буцаад ирж байна. Тэгэхлээр (f ^-1)^-1=f байх нь. Энэ нь бас нэг чухал юм хэлж єгч байна. Урвуу функцийн урвуу функц нь функц юм чинь урвуу функц болгон Х.Н.У функц байна.

(a, b) нь f - д байхад, (b, a) нь f ^-1 - д байдаг билээ. Тэгэхлээр b = f(a), а = f ^-1(b) хоёр нь адилхан утгатай билээ. f ^-1(x) = y гэвэл f(y) = x байна. Тэгэхлээр

f(f ^-1(x))=x байна. (f ^-1 - ийн тодорхойлогдох муж дээр)
f ^-1(f(x))=x байна. (f - ийн тодорхойлогдох муж дээр)

Тодорхойлолт ёсоор, y=f(x) функцийн урвуу функцийг олохдоо бид x, y хоёрыг нь "сольчихдог". Тэгээд тэр тэнцэтгэлийнхээ у - г олно. Жишээ нь, y=(x-1)³ гэвэл энэ функцийн урвуу функц нь х=(у-1)³ байна. Тэгэхлээр
у-1=х^1/3, у=х^1/3+1 байна. Ерєнхийдєє ойлгомжтой болохлээр бид дараах хоёр теоремийг баталгаагvйгээр vлдээлээ:

Теорем 18

Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралгvй бол f нь энэ завсар дээр нэг бол єсєж, нэг бол буурж байна. (Єсєх, буурах хоёрын аль нэг нь, хоёулаа биш.)

Теорем 19

Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй бол f ^-1 нь бас тасралтгvй.

Дээрх теоремуудыг яагаад vнэн болохыг ингэж ойлгож болох юм (гэхдээ энэ бол баталгаа биш): 18-р теоремийн хувьд хараажаар ямарваа нэгэн функц нь єсєж (буурж) байж л "хавтгайрахаас" зайлсхийнэ. 19-р теоремийн хувьд, бид f функц дээр 13-р теоремийг ашиглаж болно. Хэрвээ f функц [a, b] дээр єсєж (буурж) байвал [f(a), f(b)] - д ямар ч "завсар зай" байхгvй. Тэгэхлээр f ^-1 функцийн тодорхойлогдох муж нь [f(a), f(b)] байна. Утгын муж нь мэдээж [a, b]. Энэ завсарт бас ямар ч "завсар зай" байхгvйг бид мэднэ (учир нь функцvvд маань эдгээр завсарууд дээр тасралтгvй.) Харин энэ теоремийг яг батлахын тулд бид яг хуучин хязгаарын , зэргийг ашиглах хэрэг гарна.

Одоо бид f ^-1 функц тасралтгvй болохыг мэдсэн болохлээр: уламжлал!

Теорем 20

Хэрвээ f нэртэй Х.Н.У функц нь тодорхой завсар дээр тасралтгvй, f ^-1(b) дээр уламжлалтай ба
(f ^-1(b)) 0 бол f ^-1 нь b дээр уламжлалтай ба
болно.

Баталгаа

(f ^-1(х)) = х болохыг бид мэднэ. 8-р теорем ёсоор

(1) (f ^-1(b)) (f ^-1)'(b) = 1

байна. Нэгдvгээрт, бид анхнаасаа (f ^-1(b)) 0 гэж хэлсэн. Бас f ^-1 нь тодорхой завсар дээр Х.Н.У функц болохлээр (f ^-1)' 0 байна. Тиймээс (1) тэнцэтгэл биелэнэ. Єєрєєр хэлбэл

Нэг юмийг ажиглавал, хэрвээ (f ^-1(b)) = 0 бол f ^-1 нь b дээр уламлалгvй байна. Итгэхгvй бол (1) - д дээрх илэрхийлэлийг оруулаад vз. :)

Урвуу функц дараа нь биднийг тригнометр, логрифмийн функцvvдийг vзээд эхлэхээр маш чухал болж ирнэ. Тэгэхлээр чухал биш юм шиг энэ хичээлийг тоохгvй орхиж болохгvй шvv! (Ялангуяа урвуу функцийн уламжлалыг санаж яваарай.)

<--Функцийн Графикийг Зурах | Хичээлvvд | Интеграл-->

Энэ хичээлийн талаарх санал бодлоо болон хэрвээ энд ямар нэгэн алдаа байвал энд бичиж явуулна уу?