Интеграл (1-р хэсэг: тодорхойлолт)

Уламжлалаас гадна интеграл нь анализын бас нэг чухал ухагтхуун юм. Vнэндээ уламжлал нь интегралтай нийлж байж л "хэргээ" vзvvлдэг. Интегралын ухагтхуун нь анх хvн тєрлхтєний эртнээс судалсаар ирсэн хавтгайн талбайг олохоор гарч иржээ.

Талбай. Бид бага ангиасаа л дєрвєлжин, гурвалжин, бєєрєнхий, зуйван гэх мэтийн геометрийн дvрсvvдийн талбайг олсоор ирсэн. Гэхдээ

хэлбэртэй дvрсийн талбайг яаж олох вэ? Ямар ч геометрийн томъёо, дvрэм, арга энэ дvрсийн яг нарийн талбайг олж чадахгvй нь мэдээж. Тиймээс ч хvмvvс анх интегралын тухай бодож эхэлсэн бизээ. Ямар нэгэн f(x)>0 функц [a, b] завсар дээр єгєгдсєн байхад иймэрхvv "хэвийн биш" дvрс гарч ирж байна. Ер нь ингэж єгєгдсєн талбайг бид T(f, a, b) гэж тэмдэглэж байх болно. Шууд очоод талбайг нь олчихож чадахгvй болохлээр энэ дvрсийгээ дєрвєлжингvvдэд хуваая:

Бид [a, b] гэсэн завсараа [t₀, t₁], [t₁, t₂], [t₂, t₃], [t₃, t₄] гэсэн дєрвєн завсарт хуваалаа. Энэ цагааш хойш бид ингэж бичихдээ vргэлж а=t₀<t₁<t₂<t₃<t₄=b байна гэдгийг дотроо ойлгож явна.

Бид одоо ямар ч байсан ойролцоогоор T(f, a, b) - г олж чадна. Хэрвээ [t₀, t₁] завсар дээрх f функцийн max - ийг M₁, min - ийг m₁ г.м - ээр тэмдэглэвэл дээрх цайвардуу саарал дєрвєлжингvvдийн талбай нийлээд

s=m₁(t₁-t₀) + m₂(t₂-t₁) + m₃(t₃-t₂) + m₄(t₄-t₃),

бараандуу саарал дєрвєлжингvvдийн талбай нийлээд

S=M₁(t₁-t₀) + M₂(t₂-t₁) + M₃(t₃-t₂) + M₄(t₄-t₃)

байна. Хараажаар олон дєрвєлжин байх тусмаа s, S хоёр жинхэнэ талбай болох T(f, a, b) - д ойртсоор байна.

Мєн яаж ч [a, b] завсарыг олон хэсэг болгон хуваасан, vргэлж s T(f, a, b) S байна.

a<b гэе. Тэгвэл [а, b] завсарыг тєгсгєлтєй тооны завсаруудад хуваагаад энэ завсаруудыгаа P гэж тэмдэглээд, хуваалт гэж уншина.

Энэ завсаруудынхаа цэгvvдийг t₀,...,t_i гэж тэмдэглэхэд vргэлж а = t₀ < t₁ <...< t_i-1 < t_i = b байх болно. (Бид дандаа ингэж тэмдэглэж байна.)

f нь [a, b] дээр тодорхойлогдсон ба P - г [a, b] - ийн хуваалт гэж vзье. Хэрвээ m_i нь [t_i , t_i-1] дээрх min, M_i нь [t_i , t_i-1] дээрх max бол бид доод нийлбэрийг L(f, P) гэж тэмдэглээд,
гэж, дээд нийлбэрийг U(f, P) гэж тэмдэглээд,
гэж тус тусд нь тодорхойлог.

Бидний дєнгєж сая хэрэглэсэн тэмдэг нь (Грекийн сигма vсгээр тэмдэглэсэн) нь зvгээр л нийлбэрvvдийг тэмдэглэдэг ба хэдэн жишээ авч vзвэл:

г.м байна.

Бид хоёр юмийг анхааруулах ёстой. Нэгдvгээрт, дээрх тодорхойлолтууд vнэн байхын тулд функц маань тухайн [a, b] завсар дээр хязгаартай байх ёстой. (Гэхдээ заавал тасрталтгvй байх албагvй.) Жишээ нь, {0<x1 байхад 1/x, х=0 байхад 0} функц [0, 1] дээр тодорхойлогдсон болов ч энэ завсар дээр хязгааргvй байна. Єєрєєр хэлбэл, х-->0 гэхэд f(x)--> гэж байна. Хоёрдугаарт, завсар маань хаалттай завсар байх ёстой. Жишээ нь, [a, b]. Онгорхой завсар байж болохгvй. Жишээ нь, (a, b). Яагаад гэдгийг анализд бvр эхнээс нь vзэх нь чухал. (Бодит тоонуудын байгуулалт, бодит тоонуудын чанар, г.м...). Бид цаг завын vvднээс иймэрхvv анализийн нарийн (бас мэдээжийн бєгєєд уйтгартай байж болох) ухагдхуунуудыг vзэлгvй орихно.

Нэг юм илэрхий байна. Ямар ч Р₁, Р₂ хоёр хуваалт сонгон авсан L(f,P₁) U(f,P₂). Учир нь, хар ухаанаар бодвол, ямар ч доод нийлбэр нь функцийн талбайгаас бага, ямар ч дээд нийлбэр нь функцийн талбайгаас их билээ.

Бид интегралтай холбоогvй болов ч, интегралын vзэхэд тусалдаг бас нэг юмийг энд тодорхойлох хэрэгтэй.

А олонлогийн гишvvн болгоныг а - гаар тэмдэе, бас х нь А - д байдаг гэе. Хэрвээ дурын а - гийн хувьд х а бол х - ийг inf {A} гэж тэмдэглэдэг. Хэрвээ дурын а - гийн хувьд а х бол х - ийг sup {A} гэж тэмдэглэдэг.

А хязгаартай байж байж л inf, sup хоёртой байна гэдгийг анхаарна уу. (Энэ бол зvгээр л ямар нэгэн тоог тэгээр vржvvлвэл тэг гарна гэдэгтэй адилхан бодит тоонуудын нэг чанар.) За одоо буцаад интегралдаа...

Ямар ч P, P' хуваалтуудын хувьд,

L(f,P') sup {L(f,P)} inf {U(f,P)} U(f,P')

байна. Хэрвээ sup {L(f,P)} = inf {U(f,P)} бол энэ тоо л T(f, a, b) байж болох гээд байна. (зvгээр л хар ухаанаар бодвол) Одоо бид хvсэн хvлээсэн интегралаа тодорхойлно:

f функц [a, b] дээр тодорхойлогдсон ба энэ завсар дээр хязгаартай гэе. Хэрвээ sup {L(f,P)} = inf {U(f,P)} бол f функц маань [a, b] дээр интегралтай ба энэ тоог f функцийн интеграл гэнэ.

Интгегралыг бид

гэж тэмдэглэдэг. (Интегралын тэмдэг нь Латин хэлний sum буюу нийлбэр гэсэн vгний s - ээс гаралтай.) Интегралыг тодорхойлох єшєє олон арга байдаг, бидний vзсэн энэ арга бол тэдгээрийн нэг нь болно. Бид зарим теоремуудынхаа баталгаанд тэдгээр тодорхойлолтуудыг ашиглах болохлээр чи тэдгээрийн сурж авах хэрэгтэй шvv. Бид дараагийн хичээл дээрээ хэдэн жишээг хэдэн теоремтой авч vзнэ. (Аль нь ч энэ хичээл дээр байхгvй байсан бол уучлаарай!)

Интегралын тэмдэглэгээний тухай ярья. x_i-x_i-1 гэх мэтийн "х - д гарсан єєрчлєлтийг" зарим хvмvvс х_i гэж тэмдэглэдэг. Интегралыг бичихдээ бид

гэж тэмдэгvvдийг нь солиод,

гэж сольж бичдэг. (Энэ хоёрын аль нь эвтэйхэн харагдаж байна? :) ) "dx" гэдэг нь Лейницийн тэмдэглэгээний dx - тэй тєстэйг харж болно.

<--Урвуу Функц | Хичээлvvд | Интеграл (2-р хэсэг)-->

Энэ хичээлийн талаарх санал бодлоо болон хэрвээ энд ямар нэгэн алдаа байвал энд бичиж явуулна уу?